부제: 정현파의 이해: 주파수, 각주파수 그리고 위상차의 시간 계산
정현파(Sinusoidal Wave)는 주기적인 신호의 가장 기본이 되는 형태로, 1주기($2\pi$ 라디안)를 반복하며 지속되는 신호이다. 신호처리와 통신, 제어 공학 등에서 필수적인 이 개념을 수식적 정의와 물리적 의미, 그리고 위상차를 시간(Time delay)으로 변환하는 방법까지 정리한다.
1. 정현파의 정의와 구성 요소
시간 $t$에 따른 정현파 $x(t)$는 진폭, 주파수, 위상을 통해 다음과 같이 정의된다.
$$x(t) = A \sin(2 \pi f t + \phi)$$
- A (Amplitude): 신호의 크기(진폭)
- f (Frequency): 주파수 (단위: Hz)
- $\phi$ (Phase): 위상 (단위: rad)
주파수($f$)는 ‘얼마나 자주 진동하는가’를 나타내며, 주기($T$)와는 역수 관계($f = 1/T$)를 가진다. 주파수가 횟수에 중점을 둔다면, 주기는 시간 간격에 중점을 둔 개념이다.
2. 각주파수(Angular Frequency)의 도입
전기 신호 해석에서는 단순 주파수 $f$ 대신 각주파수 $\omega$를 사용하여 식을 간소화한다.
$$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$
이때 $\omega$와 $f$의 관계는 다음과 같다.
$$\omega = 2 \pi f$$
왜 각주파수를 사용하는가?
- 회전 운동과의 연계: $2\pi$는 원 한 바퀴(원주의 길이)에 해당하는 라디안(Radian) 값이다.
- 물리적 의미: 주파수 $f$가 1이면 초당 1회전($2\pi$ 라디안 이동), $f$가 2면 초당 2회전($4\pi$ 라디안 이동)을 의미한다.
- 즉, 주파수가 ‘초당 떨림 횟수’라면, 각주파수는 ‘초당 회전하는 각도(라디안)’를 의미한다.
3. 위상(Phase)과 지연(Lag)
사인파에서 위상 $\phi$의 부호에 따라 신호의 선후 관계가 결정된다.
- 진상(Leading): 위상이 양수(+)일 때, 신호가 앞선다.
- 지상(Lagging): 위상이 음수(-)일 때, 신호가 늦어진다(지연).
일반적인 시스템에서 출력 신호는 입력 신호에 비해 시간적 지연이 발생하므로 지상 신호가 된다. 그래프상에서 출력 신호는 입력 신호보다 우측으로 이동하여 나타난다. 이때 위상차의 절댓값이 $\phi$라면, “위상이 $\phi$만큼 늦어진다”고 표현한다.
4. 위상차를 시간(Time Delay)으로 환산하기
가장 중요한 질문은 “위상차 $\phi$만큼 늦어졌을 때, 실제 시간(초)으로는 얼마나 늦어진 것인가?”이다.
이 문제는 각도(Radian)를 거리로, 각주파수를 속도로 보았을 때의 시간 계산 문제와 같다. 물리학의 기본 속도 공식($v = \Delta s / \Delta t$)을 적용하면 된다.
- $v$ (속도) $\rightarrow$ $\omega$ (각주파수, 각속도)
- $\Delta s$ (이동 거리) $\rightarrow$ $\phi$ (위상차)
- $\Delta t$ (이동 시간) $\rightarrow$ 우리가 구하려는 지연 시간
따라서 지연 시간 $\Delta t$는 다음과 같다.
$$\Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{\phi}{\omega} = \frac{\phi}{2 \pi f}$$
[예제 풀이]
위상 지연이 $\pi / 2$이고, 각주파수가 $2\pi$ (1Hz)인 경우 지연 시간은?
$$\Delta t = \frac{\pi / 2}{2 \pi} = \frac{1}{4} = 0.25 [sec]$$
[비례식을 이용한 유도]
직관적인 비례식으로도 동일한 결과를 얻을 수 있다. 1초 동안 $2\pi f$ 만큼 회전할 때, $x$초 동안 $\phi$ 만큼 이동한다고 가정한다.
$$1 [sec] : 2 \pi f [rad] = x [sec] : \phi [rad]$$
$$x = \frac{\phi}{2 \pi f} [sec]$$
5. 결론: 각주파수와 각속도의 동일성
전기 신호 처리에서 각주파수($\omega$)는 물리학의 각속도와 개념적으로 동일하다.
- 각주파수: 주파수 $f$인 사인파가 초당 회전하는 라디안 양.
- 각속도: 원운동 하는 물체가 초당 이동하는 각도(라디안).
진폭(반지름)을 정규화하여 1로 둔다면, 전기 신호인 사인파는 단위원(Unit Circle) 위를 회전하는 점의 운동과 수학적으로 완벽히 일치하기 때문에 두 용어는 혼용되어 사용된다.