평행사변형에서 두 변 $a, b$와 끼인각 $\theta$가 주어졌을 때, 대각선(점 A와 C 사이)의 거리를 구하는 공식은 아래와 같다.
$$\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta}$$
이 공식은 빗금 친 직각삼각형의 빗변을 구하는 문제이므로, 피타고라스 정리를 이용해 쉽게 유도할 수 있다.
밑변을 확장하여 만든 직각삼각형에서 높이를 $h$, 확장된 밑변의 길이를 $d$라고 하자. 피타고라스 정리에 의해 다음 식이 성립한다.
$$c^2 = (a+d)^2 + h^2$$
위 식을 전개하면,
$$c^2 = a^2 + 2ad + d^2 + h^2$$
여기서 삼각비의 정의에 따라 $d = b \cos \theta$, $h = b \sin \theta$이므로 이를 대입한다.
$$c^2 = a^2 + 2ab \cos \theta + (b \cos \theta)^2 + (b \sin \theta)^2$$
$$c^2 = a^2 + 2ab \cos \theta + b^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$$
삼각함수의 항등식 $(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1$을 적용하면 식이 간단해진다.
$$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta$$
따라서 대각선의 길이 $c$를 구하는 최종 공식은 다음과 같다.
$$\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta}$$
이 공식은 물리학이나 공학에서 두 벡터의 합(Resultant Vector)을 구할 때 매우 자주 사용되므로 반드시 외워두는 것이 좋다.
특수 케이스 (Special Cases)
- $\theta = 90^\circ$인 경우 (직사각형)$\cos 90^\circ = 0$이므로, 피타고라스 정리와 동일해진다.$$\sqrt{a^2 + b^2}$$
- $\theta = 0^\circ$인 경우 (일직선)$\cos 0^\circ = 1$이므로, 완전제곱식이 되어 두 변의 단순 합이 된다.$$\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab} = \sqrt{(a+b)^2} = a+b$$
선분 AD가 a만큼 이동한 선분은 원래의 선분 AD와 수평이다. 이 선분을 오른쪽으로 눕힌다고 상상해보자. 그러면 두 선의 이동 경로가 곧 대각선의 길이로 보일 것이다. 이는 벡터의 합 개념을 배우면 더 직관적으로 이해할 수 있다.
또한 $a b cos\theta$ 항목은 내적(Inner Product)이라고 한다.
특수케이스 1 번인 경우는 내적이 0인경우이고 이는 두 벡터가 바라보는 방향이 서로 아무런 관련이 없음을 나타내고, 특수 케이 2 번에서는 $cos \theta$가 1이되어, 두 벡터가 같은 방향을 바라보고 있다는 뜻이다.
2026.1.18 표준문서화 됨