전자기학을 공부하다 보면 모멘트(Moment)라는 단어에서 막히는 경우가 많다. 단순히 공식을 외우기보다, 이 용어가 가진 본질적인 의미와 왜 수식이 $M=ml$이 되는지 그 원리를 파헤쳐 보자.
1. 자기 쌍극자 모멘트란?
자석은 $N$극과 $S$극이 항상 쌍(Pair)으로 존재한다. 이를 자기 쌍극자(Magnetic Dipole)라고 한다.
자기 쌍극자 모멘트($M$)는 외부 자기장이 주어졌을 때, 이 자석이 ‘얼마나 강하게 회전하려고 하는지’를 나타내는 물리량이다.
$$M = ml \quad [Wb \cdot m]$$
- $m$: 자하의 세기 $[Wb]$
- $l$: 자석(자극) 간의 길이 $[m]$
2. 영화 ‘인셉션’으로 이해하는 모멘트(Moment)
‘모멘트’라는 단어가 와닿지 않는다면, 크리스토퍼 놀란 감독의 영화 인셉션(Inception)을 떠올려 보자.
영화에서 주인공들은 재벌 후계자에게 회사를 분할하여 사회에 환원하도록 만들기 위해, 그의 무의식 깊은 곳에 ‘생각’을 심는 작전을 펼친다.
“생각을 훔치는 것은 쉬우나, 생각을 심는 것은 매우 어렵고 힘든 일이다.”
주인공들은 후계자가 스스로 행동하게끔 만드는 강력한 동기(Momentum/Motivation)를 심는다. 영화 제목인 인셉션(발단, 시작)처럼 말이다.
물리학에서의 모멘트(Moment)도 이와 같다.
정지해 있는 물체(자석)를 회전하게 만드는 ‘원천적인 동기’이자 ‘씨앗’다. 즉, 자기 모멘트는 ‘자석이 자기장 안에서 뱅글 돌게 만드는 동기(모멘트)의 크기’라고 정의할 수 있다. (이 회전력을 이용하면 모터가 된다.)
3. 수식의 미스터리: 왜 거리($l$)를 그대로 곱할까?
여기서 많은 학습자가 의문을 가진다.
“회전력(토크)은 중심축에서 멀어질수록 커진다. 자석이 회전한다면 중심에서 $N$극까지의 거리는 $l/2$인데, 왜 공식은 $M = m \times (l/2)$가 아니라 $M = m \times l$인가?”
이 의문을 풀기 위해서는 짝힘(Couple Force)의 원리를 이해해야 한다.
균일한 자계 $H$ 속에 놓인 막대 자석을 상상해 보자.
- $N$극($+m$): 자계 방향으로 힘 $F$를 받는다. (중심에서 $l/2$ 거리)
- $S$극($-m$): 자계 반대 방향으로 힘 $F$를 받는다. (중심에서 $l/2$ 거리)
이 두 힘은 방향이 정반대이지만, 중앙을 고정하면, 자석이 놓인 초기 위치에 따라 자석의 회전방향이 결정된다.
이를 수식으로 풀어보면 다음과 같다.
- $N$극이 만드는 회전력(토크): $\tau_1 = F \times \frac{l}{2}$
- $S$극이 만드는 회전력(토크): $\tau_2 = F \times \frac{l}{2}$
전체 회전력($T$)은 이 둘의 합이다.
$$T_{total} = \tau_1 + \tau_2 = \left( F \times \frac{l}{2} \right) + \left( F \times \frac{l}{2} \right) = F \times l$$
결국, 절반의 거리($l/2$) 두 개가 합쳐져서 자석의 전체 길이($l$)가 되는 것이다.
그래서 자기 모멘트를 정의할 때, 굳이 $l/2$을 쓰지 않고 자석의 길이 $l$을 사용하여 $M=ml$로 정의한다.
4. 최종 회전력(Torque) 공식
이제 자석이 받는 최종 회전력 $T$를 정리할 수 있다. 자석이 자계와 각도 $\theta$를 이루고 있다면 다음과 같다.
$$T = M \times H = MH \sin \theta \quad [N \cdot m]$$
- $F=mH$: 점 자하가 받는 직선적인 힘.
- $T=M \times H \tag{(1) $: 막대 자석(쌍극자)이 받는 회전하려는 힘(동기).
$m$(점)이 $M$(막대)으로 확장되면서, 단순한 ‘힘’이 ‘회전력’으로 진화했다. 자기 모멘트 $M$은 자석이 외부 자기장에 반응하여 움직이게 만드는 가장 근본적인 스펙(동기)임을 기억하자.
5. 토크는 벡터!
토크(Torque)는 수학적으로나 물리적으로나 벡터의 외적(Cross Product) 연산이다.
식 $T = M \times H$에서 가운데 곱하기 기호($\times$)는 단순한 산술 곱셈이 아니라, 벡터의 외적 연산자를 의미한다. 이를 선형대수학적 관점과 물리학적 관점에서 분석하면 다음과 같다.
5.1 수식적 정의 (벡터의 외적)
토크($\vec{T}$), 자기 모멘트($\vec{M}$), 자계의 세기($\vec{H}$)는 모두 방향과 크기를 가지는 벡터(Vector)다. 따라서 정확한 수식은 다음과 같이 벡터 표기로 써야 한다.
$$\vec{T} = \vec{M} \times \vec{H}$$
$$\vec{T} = \vec{M} \times \vec{H}$$
이 외적 연산의 크기(Magnitude)를 구하는 공식이 수식 (1)에 있다. 외적의 정의에 따라 두 벡터 사이의 각도가 $\theta$일 때, 크기는 $\sin\theta$에 비례한다.
$$|\vec{T}| = |\vec{M}| |\vec{H}| \sin\theta$$
$$|\vec{T}| = |\vec{M}| |\vec{H}| \sin\theta$$
여기서 $|\vec{M}|$은 자극의 세기($m$)와 길이($l$)의 곱인 $ml$이므로, 결국 $T = mlH\sin\theta$가 되는 것이다.
5.2 물리적 의미 (회전의 축)
외적은 두 벡터가 만드는 평면에 수직인 새로운 벡터를 만들어낸다.
- $\vec{M}$ (자기 모멘트): 자석의 N극 방향을 가리키는 벡터
- $\vec{H}$ (자계): 외부 자기장의 방향
- $\vec{T}$ (토크): 이 둘의 외적 결과로, 자석을 회전시키는 회전축의 방향을 나타낸다.
즉, $M$과 $H$가 나란하면($\theta = 0^\circ$ 또는 $180^\circ$) $\sin\theta = 0$이 되어 외적 값은 0이 되고, 회전력은 발생하지 않는다. 반대로 서로 수직일 때($90^\circ$) 회전력이 최대가 된다. 이것이 외적의 특성이다.
그럼, 토크의 벡터 방향은 회전축으로 정의되어 있다. 그러면 중요한 원의 회전방향은 어떻케 아는가?
이건 수학적 정의가 만들어진 배경어진 배경을 알아야 한다. 칠판위에 복소 평면 상의 원을 그리고 엄지 손가락을 본인 방향으로 향하게 한 후, 오른 손을 올려 놓는다. 실수 축에서 허수 축으로 해서 나머지 4 손가락을 회전시키자.
그럼 그것이 회전방향이고 엄지의 방향이 축이된다. 즉, 축을 알면 이제는 회전방향을 알게 되었다. 그래서 외적의 방향을 알면 회전 방향이 나온다.
5.3 베터는 출발 벡터가 다르면 방향이 반대인데?
그렇다. 그러면 H에서 출발할까? 아니면 M벡터에서 출발할까? 이것은 행렬과 같은 순서의 문제이며 또한 논리의 문제가 된다. 그래서 벡터가 들어간 수식들은 순서에 민감하므로 순서대로 외워야 한다.
물리적 의미는, “자계($H$)에 놓인 자석(모멘텀($M$))이 회전하면서 자계의 방향으로 정렬하는 상태를 설명해야 한다”는 것이다. 즉, 움직여서 큰 계에 일치하도록 외적의 방향을 잡는것이 합당하다는 의미이다.
그래서 토크의 정의가
$$T=M \times H$$
로 쓰인것이며 어느 공학책에서도 $H \times M$으로 나타내지 않은 것이다.
※ 참고: 본문의 가정
본 포스팅은, 자석 막대의 끝 단에 자하가 모두 모여있다고 가정하고 작성한 글이다.
윗 글은 아래 포스팅의 “자계에서의 자기 쌍극자 모멘트”에 대한 내용을 설명한 글이다.