전자기학에서 정자계(Static Magnetic Field)는 시간이 지나도 변하지 않는 자계의 분포를 다룬다. 정전계(Static Electric Field)와 대응되는 개념이 많아, 이를 비교하며 이해하는 것이 효율적이다. 자하(Magnetic Charge)가 일으키는 힘과 에너지, 그리고 전류에 의해 발생하는 자계의 법칙을 정리한다.
1. 기본 용어 및 단위
먼저 혼동하기 쉬운 용어와 단위를 명확히 한다.
- 자하(Magnetic Charge, $m$): 자기의 양. 정전계의 전하($q$)에 대응된다. 단위는 웨버([Wb])를 사용한다.
- 자계의 세기($H$): 단위 자하($+1[Wb]$)를 놓았을 때 받는 힘의 세기. 단위는 $[A/m]$ 또는 $[AT/m]$이다. (인덕턴스의 단위인 헨리 $[H]$와 혼동하지 말 것)
- 자화(Magnetization): 자성체를 자계 안에 두었을 때 자석의 성질을 띠게 되는 현상.
- 자기유도: 자성체를 자석 가까이 놓았을 때 양단에 자극이 생기는 현상.
2. 자계에서의 쿨롱의 법칙 (Coulomb’s Law)
두 자하 사이에 작용하는 정자력(Force)은 두 자하의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다.
$$F = k \frac{m_1 m_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi \mu_0} \frac{m_1 m_2}{r^2} [N]$$
여기서 진공 중의 투자율($\mu_0$)은 다음과 같다.
$$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} [H/m]$$
$k$값은 약 $6.33 \times 10^4$이다. 정전계에서 전하($C$)가 기준이라면, 정자계에서는 자하($Wb$)가 기준이 된다.
3. 자계의 세기와 정자력
자계의 세기 ($H$)
어떤 자하 $m$이 만드는 자계 내의 임의의 점($r$)에 단위 정자하 $+1[Wb]$을 놓았을 때, 그 자하가 받는 힘이다.
$$H = \frac{1}{4\pi \mu_0} \frac{m}{r^2} [A/m]$$
정자력 ($F$) – 기계적인 힘
자계 $H$ 안에 자하 $m$이 놓여 있을 때 받는 힘이다. $F=ma$ (역학), $F=qE$ (정전계)와 완벽하게 대칭을 이룬다.
$$F = mH [N]$$
4. 자기 쌍극자 모멘트 (Magnetic Dipole Moment)
자석은 N극과 S극이 항상 쌍(Dipole)으로 존재한다. 외부 자계 안에서 자석이 받는 회전력(Torque)을 정의하기 위해 모멘트 개념을 사용한다.
$$M = ml [Wb \cdot m]$$
왜 거리 $l$을 그대로 곱하는가?
자석의 길이를 $l$이라고 할 때, 중심축에서 N극까지의 거리는 $l/2$, S극까지의 거리도 $l/2$이다.
외부 자계에 의해 N극과 S극은 서로 반대 방향으로 힘을 받으며 짝힘(Couple Force)을 형성한다. 이때 발생하는 전체 토크($T$)는 두 힘이 만드는 토크의 합이다.
$$T_{total} = (Force \times \frac{l}{2}) + (Force \times \frac{l}{2}) = Force \times l$$
따라서 모멘트 정의 시 자석의 전체 길이 $l$을 곱하는 것이 물리적으로 타당하다.
회전력 (Torque, $T$)
자기 모멘트 $M$을 가진 자석이 자계 $H$와 각도 $\theta$를 이룰 때 받는 회전력이다.
$$T = M \times H = MH \sin \theta [N \cdot m]$$
5. 자속밀도와 자기회로
자속밀도 ($B$)
단위 면적당 통과하는 자속($\Phi$)의 수이다. 자계의 세기($H$)에 매질의 투자율($\mu$)을 곱한 값으로, 물질적 특성이 반영된 자기장의 크기다.
$$B = \frac{\Phi}{A} = \mu H [T] (또는 [Wb/m^2])$$
기자력 (Magneto-Motive Force, $\mathcal{F}$)
자기 회로에서 자속을 발생시키는 원동력이다. 정자력($F=mH$)과는 다르며, 전기회로의 기전력(EMF)에 대응된다. 코일의 감은 횟수($N$)와 전류($I$)에 비례한다.
$$\mathcal{F} = NI = \Phi R_m [AT]$$
자기저항 ($R_m$)
자속의 흐름을 방해하는 정도이다.
$$R_m = \frac{l}{\mu A} [AT/Wb]$$
6. 전류에 의한 자계 (주요 법칙)
비오-사바르의 법칙 (Biot-Savart Law)
전류가 흐르는 미소 구간 $dl$이 임의의 점 $P$에 만드는 미소 자계 $dH$를 구하는 법칙이다.
$$dH = \frac{I dl \sin \theta}{4 \pi r^2} [A/m]$$
암페어의 주회 적분 법칙
전류 주위에 생기는 자계의 총합(적분)은 그 폐곡선 내부를 통과하는 전류의 합과 같다. 이를 통해 대칭적인 구조의 자계를 쉽게 구할 수 있다.
- 무한 직선 전류:$$H = \frac{I}{2 \pi r}$$
- 환상 솔레노이드:$$H = \frac{NI}{2 \pi r}$$
- 원형 코일 중심:$$H = \frac{NI}{2r}$$
- 무한장 솔레노이드:
- 내부: $H = nI$ ($n$: 단위 길이당 권선수)
- 외부: $H = 0$